Khi bước vào chương trình Trung học cơ sở, bạn sẽ được học qua định lý Pytago để tìm ra độ dài các cạnh của một tam giác vuông.
1. Định lý Pytago là gì?
Định Lý Pytago là mối liên hệ cơ bản trong hình học Euclid giữa 3 cạnh của tam giác vuông. Định lý này được phát minh và đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras.
2. Định lý Pytago
Định lý
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện của góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Công thức
Trong đó:
- a, b: Độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.
- c: Độ dài cạnh huyền.
Chứng minh định lý
Bằng việc sắp xếp lại vị trí của các hình tam giác, nhà toán học Pytago đã chứng minh định lý như sau:
- Giả thuyết: Trong hai hình vuông lớn có diện tích bằng nhau, mỗi hình vuông đều chứa 4 tam giác có diện tích bằng nhau. Khi thay đổi vị trí hình tam giác, ta được các khoảng trắng như hình vẽ.
- Suy ra: Diện tích của khoảng trắng trong hình vuông thứ nhất sẽ bằng tổng diện tích của hai khoảng trắng trong hình vuông thứ hai.
Bài tập minh họa
Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ đường cao AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Biết AB = 13 (cm), AH = 12 (cm), HC = 16 (cm). Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
- Trong tam giác AHC vuông tại H, ta có:
AC2 = AH2 + HC2 = 122 + 162 = 144 + 156 = 400 (cm)
=> AC = 20 (cm).
- Trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:
BH2 = AB2 – AH2 = 132 – 122 = 169 – 144 = 25 (cm)
=> BH = 5 (cm).
=> BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm).
3. Định lý Pytago đảo
Định lý
Trong một tam giác, nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Công thức
Chứng minh định lý
-Giả thuyết ABC là tam giác với có cạnh a, b và c với a2 + b2 = c2
-Dựng một tam giác thứ hai MPN là tam giác vuông và các cạnh tạo bởi góc vuông này lần lượt bằng a, b.
-Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông MPN là c = √**(a2 + b2)** và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất ABC. Dẫn đến hai tam giác này bằng nhau do có ba cạnh tương ứng cùng bằng độ dài cạnh a, b và c.
=> Góc giữa cạnh a và b trong tam giác ABC là góc vuông.
Hệ quả
Bài tập minh họa
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 13, BC = 12. Chứng minh tam giác ABC vuông góc tại B.
Lời giải:
- Áp dụng định lý Pytago đảo, ta có 52 + 122 = 132
=> Tam giác ABC là tam giác vuông.
- Mặt khác, AC = 13 cm, có độ dài lớn nhất nên AC là cạnh huyền và đối diện với cạnh huyền là góc vuông B.
Vậy tam giác ABC vuông tại B.
4. Bộ ba số Pytago nguyên thủy
Bộ ba số Pytago nguyên thủy là ba số nguyên dương a, b, và c. Chúng thể hiện độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông và giúp bạn suy nhanh được độ dài của một cạnh khi biết trước độ dài của 2 cạnh còn lại.
Các bộ ba này thường được viết là (a, b, c). Sau đây là 16 bộ ba số Pytago thường gặp: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).
5. Các bước áp dụng định lý Pytago thuận và Pytago đảo
Các bước áp dụng định lý Pytago thuận
Bước 1: Xét tam giác vuông có cạnh cần tính độ dài.
Bước 2: Áp dụng định lý Pytago và thay số vào phương trình.
Bước 3: Tính độ dài cạnh cần tìm và đưa ra kết luận.
Các bước áp dụng định lý Pytago đảo
Bước 1: Chọn cạnh có độ dài lớn nhất và tính bình phương của cạnh đó.
Bước 2: Tính tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
Bước 3: So sánh và dựa vào định lý Pytago đảo đưa ra kết luận.
6. Cách áp dụng định lý Pytago
Tính các cạnh của tam giác vuông
Bước 1: Gọi a, b lần lượt là độ dài hai cạnh của góc vuông, c là độ dài cạnh huyền.
Bước 2: Thay độ dài các cạnh đã biết vào công thức Pytago.
Bước 3: Tính độ dài của cạnh còn lại bằng cách sử dụng các công thức toán học.
Bài tập minh họa
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 16 và HC = 9. Tính độ dài các cạnh của tam giác.
Lời giải
- Áp dụng định lý Pytago và hai tam giác vuông AHC và AHB, ta có:
- x2 = AH2 + 92 (1)
- y2 = AH2 + 162 (2)
- Mà tam giác ABC vuông tại A nên:
BC2 = AB2 + AC2 = y2 + x2
=> (9 +16)2 = (AH2 + 162) + (AH2 + 92)
=> 625 = 2.AH2 + 337
=> AH2 = 144
=> AH = 12 (cm)
-
Thế AH = 12 vào (1), ta được x = 15 (cm)
-
Thế AH = 12 vào (2), ta được y = 20 (cm)
Vậy độ dài cạnh AC = 15 (cm) và AB = 20 (cm).
Tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y
Bước 1: Xác định hai điểm đã cho trong mặt phẳng X-Y. Trong đó (x1,y1) là điểm đầu tiên; (x2,y2) là điểm thứ hai.
Bước 2: Vẽ hai điểm lên đồ thị. Với mỗi điểm, x là tọa độ trục hoành và y là tọa độ trục tung.
Bước 3: Tìm chiều dài các cạnh góc vuông bằng công thức:
- |x1 - x2| là độ dài cạnh nằm ngang.
- |y1 - y2| là độ dài cạnh thẳng đứng.
Bước 4: Sử dụng định lý Pytago tính độ dài cạnh huyền.
Bài tập minh họa
Cho hai điểm là A(5,2) và B(8,6). Tính độ dài cạnh huyền của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi a và b lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền.
- Độ dài cạnh nằm ngang: a = |x1 - x2| = |5 - 8| = | -3 | = 3
- Độ dài cạnh thẳng đứng là: b = |y1 - y2| = |2 - 6| = | -4 | = 4
Vậy trong tam giác vuông này có 2 cạnh góc vuông là a = 3 và b = 4. Áp dụng bộ ba số Pytago nguyên thủy, suy nhanh ra được cạnh huyền c = 5.
7. Một số lưu ý khi áp dụng định lý Pytago
Khi sử dụng định lý Pytago trong toán học, các bạn học sinh và sinh viên cần lưu ý những điểm sau:
- Định lý Pytago chỉ cho ra kết quả đúng khi bạn áp dụng trên tam giác vuông.
- Để đảm bảo tính đúng kết quả, bạn bên vẽ hình tam giác ra giấy và ghi chính xác độ dài các cạnh.
- Khi áp dụng định lý này, bạn chỉ tính được độ dài cạnh thứ 3 khi biết độ dài 2 cạnh còn lại.
- Khi tính căn bậc hai, bạn nên sử dụng máy tính để cho ra kết quả chính xác.
